任意角三角函数

制作人：

孙长利

审核人：

李吉龙

制作时间：

2015.02.28

　1.2.1　任意角的三角函数(一)

【课标要求】

（1）会用定义球任意角三角函数

（2）认识三角函数定义域，三角函数值得符号，理解公式一

课前预习案

1．任意角三角函数

(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：

①y叫做α的______，记作______，即sin α＝y；

②x叫做α的________，记作______，即cos α＝x；

③叫做α的______，记作______，即tan α＝ (x≠0)．

对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．

(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.

2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

3．诱导公式一

终边相同的角的同一三角函数的值________，即：

sin(α＋k·2π)＝________，cos(α＋k·2π)＝________，

tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z.

自主探究

利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值.

课中探究案

知识点一　利用定义求角的三角函数值

例1　已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．

回顾归纳　利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．

变式训练1　已知角θ的终边上一点P(x,3) (x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.

知识点二　判断三角函数值的符号

例2　判断下列各式的符号：

(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；

(2)sin 285°cos(－105°)；

(3)sin 3·cos 4·tan.

回顾归纳　准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆．

变式训练2　(1)若sin αcos α<0，则α是第______象限角．

(2)代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是________．

知识点三　诱导公式一的应用

例3　求下列各式的值．

(1)cos ＋tan；

(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.

回顾归纳　利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．

变式训练3　求下列各式的值．

(1)cos＋tan ；

(2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.

1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．

2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．

3．诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．

作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值.

课后训练案

1．sin 390°等于(　　)

A.                              B．－                              C．－                              D.

2．若sin α<0且tan α>0，则α是(　　)

A．第一象限角                                            B．第二象限角

C．第三象限角                                            D．第四象限角

3．当α为第二象限角时，－的值是(　　)

A．1                              B．0                             C．2                              D．－2

4．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为(　　)

A．3                              B．－3               C．±3                              D．5

5．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是(　　)

A．sin                 B．cos                 C．tan                 D．cos 2θ

6．若角α的终边过点P(5，－12)，则sin α＋cos α＝________.

7．若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在第______象限．

8．5sin 90°＋10 cos 180°－3 sin 270°＋4 cos 420°＝________.

9．已知角α的终边经过点(3m－9，m＋2)，且sin α>0，cos α≤0，求m的取值范围？

10．已知角α终边上一点P(－，y)，且sin α＝y，求cos α和tan α的值．

学习随想