弧度制

制作人：

孙长利

审核人：

邵慧

制作时间：

2015.02.27

　1.1.2　弧度制

【课标要求】

（1）了解弧度概念（2）能熟练进行弧度与角度互化

课前预习案

1．角的单位制

(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．

(2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．

(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______．

2．角度制与弧度制的换算

3.扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则

课中探究案

知识点一　角度制与弧度制的换算

例1(1)把112°30′化成弧度；(2)把－化成角度．

回顾归纳　将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可．

变式训练1　将下列角按要求转化：

(1)300°＝________rad；(2)－22°30′＝________rad；

(3)＝________度．

知识点二　利用弧度制表示终边相同的角

例2　把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：

(1)－1 500°；　(2)；　(3)－4.

回顾归纳　在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用．

变式训练2　将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式是________．

知识点三　弧长、扇形面积的有关问题

例3　已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

回顾归纳　灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题．

变式训练3　一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．

1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．

2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．

易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数．

3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.

课后训练案

1．与30°角终边相同的角的集合是(　　)

A.B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}

C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}D.

2．集合A＝与集合B＝{α|α＝2kπ±，k∈Z}的关系是(　　)

A．A＝B                                                                        B．A⊆B

C．B⊆A                                                                        D．以上都不对

3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)

A．2                                                                                      B．sin 2

C.                                                                                      D．2sin 1

4．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于(　　)

A．∅

B．{α|－4≤α≤π}

C．{α|0≤α≤π}

D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}

5．扇形圆心角为，半径长为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为(　　)

A．1∶3  B．2∶3  C．4∶3  D．4∶9

6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．

7．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝________.

8．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.

9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．

10. 如右图，已知扇形OAB的中心角为4，其面积为2 cm2，求扇形的周长和弦AB的长．

学习随想