郎秀磊 直线与方程学案
直线与方程复习学案 2015-3-27
新泰二中 郎秀磊
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考 点 |
考 纲 解 读 |
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1 |
直线的倾斜角和斜率 |
理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. |
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2 |
两条直线平行或垂直 |
能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. |
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3 |
直线方程的几种形式 |
掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式、截距式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系. |
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4 |
两条直线的交点 |
能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. |
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5 |
距离公式 |
掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. |
一、直线的倾斜角和斜率
1.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的_________记为α,那么α就叫做直线的倾斜角. 当直线和x轴____________时,我们规定直线的倾斜角为0°.
2.倾斜角的取值范围是___________. 倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的___________,常用k表示.
3.斜率公式:经过两点
(
,
),
(
,
)的直线的斜率公式:k= _____（
）
二、直线方程的几种形式
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已知条件 |
直线方程 |
适用范围 |
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点斜式 |
P1( |
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k存在 |
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斜截式 |
k,b |
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k存在 |
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两点式 |
P1( P2( |
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截距式 |
a,b |
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a≠0且b≠0 |
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一般式 |
A、B、C ∈R |
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三、两直线平行与垂直的条件
1.特殊情况下的两直线平行与垂直.
当两条直线中有一条没有斜率时:(1)当另一条的斜率也不存在时,两直线_______。(2)当另一条直线的斜率为0时,两直线__________。
2.斜率存在时两直线的平行与垂直:
(1)两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即
∥
⇔___________________。
若直线
、
的方程为
:
x+
y+
=0,
:
x+
y+
=0(
≠0,
≠0),则
∥
⇔ _________________。
(2)两条直线垂直的情形:如果两条直线的斜率分别是
和
,则这两条直线垂直的充要条件是________。
若直线
和
的一般式方程为:
x+
y+
=0,
:
x+
y+
=0,则⊥
⇔________________。
四、距离公式
1.点P(
,
)到直线l:Ax+By+C=0的距离为:d= 。
2.已知两条平行直线l1和l2的一般式方程为:Ax+By+=0, :Ax+By+=0,则与的距离为d= 。
五、对称问题
1.点P(,)关于定点A(a,b)的对称点为_________;曲线C:f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线方程为___________。
2.若求点
(,)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点P(x,y),可应用方程组_________________。
3.直线关于点对称和直线关于直线对称,可以转化为点关于点对称和点关于直线对称来求解.
1.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为 ( )
(A)1. (B)4. (C)1或3. (D)1或4.
2.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)可能是( )
(A)(1,-3). (B)(3,-1). (C)(-3,1). (D)(-1,3).
3.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于 ( )
(A)
. (B)2- . (C)-1. (D)+1.
4.若ab>0,且A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 .
题型1直线的倾斜角和斜率
例1 直线2xcosα-y-3=0(α∈[
,
])的倾斜角的范围是 ( )
(A)[
,
]. (B)[
,
]. (C)[
,
]. (D)[,
].
变式训练1 已知点A(-1,-5),B(3,-2),直线l的倾斜角是直线AB的倾斜
角的2倍,则直线l的斜率为 ( )
(A)
. (B)
. (C)
. (D)
.
题型2直线的方程
例2 (1)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( )
(A)x-2y+7=0. (B)2x+y-1=0. (C)x-2y-5=0. (D)2x+y-5=0.
(2)经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线
方程是 .
变式训练2 △ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3).求:
(1)BC边所在直线的方程;
(2)BC边上中线AD所在直线的方程;
(3)BC边上的垂直平分线DE的方程.
题型3两直线的平行与垂直
例3 已知两条直线:ax-by+4=0和:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.
(1) ⊥,且过点(-3,-1);
(2) ∥,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
变式训练3 已知两直线:mx+8y+n=0和:2x+my-1=0.试确定m、n的值,使:
(1) 与相交于点P(m,-1);
(2) ∥;
(3) ⊥,且在y轴上的截距为-1.
题型4两直线的交点与距离问题
例4 (1)求经过两直线:x-2y+4=0和:x+y-2=0的交点P,且与直
线
:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
(2)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点P,使
|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2.
变式训练4 已知点P(2,-1).
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不
存在,请说明理由.
题型5对称问题
例5 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),求:
(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标;
(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程.
变式训练5 (1)求直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l的方程.
(2)求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程.
1. 解决有关直线方程的综合题,要根据题目给出的条件灵活选用直线方程的形式,且要注意题目中的隐含条件.
2.求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.
3.不重合的两条直线,当两直线的斜率均不存在时,两直线平行;当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两直线垂直;当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率是非零实数时,则两直线相交但不垂直.
4.中心对称和轴对称
(1)中心对称:
①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点为P'(x',y')满足___________。
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称:
①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点为A'(m,n),则有______________。
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点,设直线l的斜率为k,则k的取值范围是 ( )
(A)k≥
或k≤-4. (B)-4≤k≤
.
(C)k≥
或k≤-
. (D)-
≤k≤4.
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